一挥笔就放弃了存在，微积分抹去了68的已知宇宙

　　早在1917年，阿尔伯特爱因斯坦就已经成名，成为一个家喻户晓的名字，确切地说，应该是爱因斯坦。
　　他计算出了原子的大小，发现了质量和能量的等效性，开创了量子物理学的时代，并引领了一种被称为羊毛卷新星的发型他的经历和成就实在令人印象深刻，而他自己引以为傲的成就，无疑是创立了广义相对论。这是一个无比优雅的等式，是一次宇宙探索之旅，是对牛顿力学的一记漂亮的回旋踢。
　　爱因斯坦在广义相对论中描述的真相如此惊世骇俗，以至于《纽约时报》的文章中甚至表达了对它可能把乘法表都推翻的担忧。而关于广义相对论的一切，都建立在一个简单的认知之上：宇宙不仅仅是一个装着恒星和行星的盒子，在物质存在的情况下，它会弯曲，也会变形。
　　《欢乐数学之疯狂微积分》，天津科学技术出版社2022年10月版，〔美〕本奥尔林（BenOrlin）著，唐燕池译。
　　叮，又到了思维实验的时间。想象一下这个画面：我正懒洋洋地坐在树桩上，看着一束光以每秒3亿米的恒定速度划过。与此同时，你乘着星舰a以惊人的速度追逐那束光，以每秒2亿米的速度从我身边经过。
　　那么，光是先远离我还是先远离你呢？
　　这个问题是一个陷阱！
　　我们都知道，光速是一个恒定的常数。它始终是每秒3亿米a，不会为任何人改变，现在不会改变即使在面对速度超快的你时，也不会改变。相反，在这个过程中，改变的是一些更柔软、更有韧性的东西，也就是空间和时间的结构。从我坐着的树桩的角度来看，光甩开你3亿米需要3秒钟。从你在进取号星舰b上的角度看，光甩开你3亿米只需要1秒钟。这样一来，我的怀表走的速度就比你快了2倍。
　　是的，运动可以重塑时间。
　　是不是开始感到头晕了？
　　那你就为下一步做好了准备：物质也能重塑空间。
　　例如，太阳并不像盒子里的保龄球那样静止不动，而是像床垫上的保龄球，压在织物上，扭曲了周围的时空区域。因此，当一颗行星绕太阳运行，或一个苹果朝地球的方向坠落时，它们并不会陷入某种牛顿引力无法解释的痛苦之中，只是在沿着阻力最小的路径穿过一个弯曲的四维空间而已。
　　物理学家约翰惠勒（JohnWheeler）说：物质告诉时空该如何弯曲，而弯曲的空间则告诉物质该如何运动。
　　1915年11月，爱因斯坦从以上这些事实中提炼出了引力场方程。
　　物理学家卡洛罗韦利（CarloRovelli）写道：尽管这个方程写出来不过半行，但在这个等式中，存在着一个丰富多彩的宇宙。引力场方程预测光会在重的物体周围弯曲；相比谷底的时间，山顶的时间会膨胀；引力波可以在宇宙中传播，大恒星会坍缩成奇点（后来被称为黑洞）一连串梦幻般的预言，如同一个疯子的呓语，罗韦利写道，但最后都被证明了是真的。
　　然而，即便这个等式就像从魔法棒中冒出来的守护神一样发出了新的预言，爱因斯坦仍然不太满意。
　　诚然，广义相对论可以描述绕着轨道运行的行星和弯曲的光子，但这些都是有限的有界系统，只是宇宙的一部分。爱因斯坦在给同事的信中写道：相对论的概念是否可以一以贯之，还是会导致矛盾？这个问题急需解决。他现在想要的是终极大奖，是所有狂欢节上那只最大的泰迪熊。
　　那么，广义相对论真的能描述整个宇宙吗？
　　这个问题非常符合积分学的精髓，它体现了从很多很多的小东西到一个大的整体的飞跃。
　　事实上，它确实涉及了积分问题；尽管爱因斯坦在1917年发表的著名论文中采用的是一个不同的解法，但在1918年，他发现自己实际上还是在求积分。爱因斯坦更喜欢这个求积分的新公式，他写道：新的公式有一个巨大的优势，那就是量作为积分常数出现在了基本方程中。
　　这里的量指的是什么呢？别着急，我们晚些时候会说到。现在先聊聊，积分常数是什么。
　　关于这个问题，如果你问一个正在学微积分的学生，答案就是每个不定积分后面烦人的C。这个花哨的符号与你正在计算的积分无关，但根据一些不成文的规定，你永远不能忘记C，否则就会被小气又死板的阅卷老师扣分。
　　这个常数从何而来？正如我们在前文中讨论过的，积分和微分是互逆的运算过程。求积分时，我们会看着那个函数，然后问自己：它的导数是什么？
　　假设一个跑步者以每小时7英里的稳定速度行进。速度图是这样的：
　　那么积分呢，也就是位置图？嗯，以下是其中一种可能性：
　　然而，这不过是一个假设，假设跑步者在正午时分从家里出发。实际上，我们真的不知道这场赛跑是从哪里开始的。也许是离家1英里、2英里、7英里又或许是在相反的方向上离家3。5英里，这样就会在中午12：30到家。这样的位置函数可能有无数个，除了加上或减去某个固定的距离，而它们中的每一个都长得一模一样。可以是7x、7x1、7x2、7x3
　　为了不耽误大家享用晚餐，我就不一一列出那无数的可能了，而是用简单的公式7xC来概括这个大家族。
　　在这里，C就是一个积分常数，是任何数字的缩写。只需一笔，它就能把一条曲线变成无穷大的家族。不过，也正是因为这样的简洁干练，容易让人忽略它的力量和内涵。
　　当然，爱因斯坦可不会忘记这个常数。拜托，我们谈论的可是有史以来不用梳子的最伟大的科学家之一。不过呢，他犯了一个更难以察觉但更严重的错误。
　　我要带领读者走一遍我走过的路，爱因斯坦在他1917年发表的论文中写道，这是一条崎岖不平的路。事实上，他就像在迷宫般的单行道上前行，在数学的拐角处屡屡受挫。
　　爱因斯坦第一次尝试描述整个宇宙时，得出的结论与已知的事实相矛盾。在第二次尝试中，他需要明确一个正确的参照系，这又违背了相对论的内涵。在第三次尝试中，他采用了一个同事的建议，然而，得到的结果是没有解决问题的希望，就相当于放弃。他那著名的方程式并没有提供足够的灵活性。
　　最后，爱因斯坦只能通过引入一个积分常数来挽救他的模型：。这是一个希腊字母；爱因斯坦实际上用的是小写的，由此可见，他对它或许缺乏尊重。不管怎样，就此成为宇宙哲学意义上的常数。
　　事实证明，这是一个完全有效的数学动作，也是一个不可或缺的动作：没有，这个模型就崩溃了。这个模型预测的可以是一个收缩的宇宙（如果周围环绕着很多物质），可以是一个膨胀的宇宙（如果周围没有很多物质），也可以是一个完全无物质的宇宙（以一种可悲、空洞的方式保持不变的大小）。在这样的情况下，只有一个具体的、能够精密调整的值才能让爱因斯坦描述出他所理解的宇宙，即一个包含物质且大小不变的宇宙。
　　尽管如此，爱因斯坦仍然感到为难，因为现在整篇论文读起来有点像写给的道歉信。他认为这是广义相对论的一个缺陷，它拙劣地把问题复杂化了。的必要性让他感到沮丧，就如同一个汽车引擎只有在某种引擎盖的装饰下才能正常运行一样。
　　这样的情况持续了十多年。1929年，天文学家埃德温哈勃带来了一条超级大新闻，事实上，如果以立方米为单位来衡量新闻的尺寸，那这应该是有史以来最大的新闻。
　　哈勃发现，大家此前所说的那个宇宙并不是真正的宇宙，只是我们所在的星系银河系。夜空中那些模糊的螺旋状星云实际上是其他星系，它们的大小与我们的银河系相似，但距离我们有几百万光年，其中大多数还在继续远离我们。因此，宇宙不仅比我们想象的要大得多，而且每时每刻都在膨胀，宇宙中的星系就像一块正在发酵的面包里的葡萄干一样在分离。
　　不断膨胀的宇宙意味着现在可以等于零，尽管它并不一定等于零。这对爱因斯坦来说已经足够了。没有片刻的犹豫或不舍，他果断抛弃了，称它在理论上不令人满意，并宣布它就是零（不知道是不是与此相关，爱因斯坦在恋爱分手时也这样不留情面）。他后来写道：如果哈勃的膨胀说在广义相对论创立之时就被发现了，那么这个宇宙学成员（指的是）就永远不会被引入。据他的朋友乔治伽莫夫（GeorgeGamow）说，爱因斯坦曾坦言宇宙学常数的引入是他一生中犯下的最大错误。
　　一些人认为，爱因斯坦把未能预测宇宙的膨胀归咎于，而这本该是广义相对论皇冠上的宝石。不过，几乎没有证据表明他是这么想的。爱因斯坦野心勃勃地研究宇宙学，目标很明确，就是要证明广义相对论可以建立一个具有普适性的模型，而且他从来没有哀叹过什么失败的预测。相反，他对的怨恨似乎来自一种个人的审美偏好，即积分常数应该等于零，就像那些坚持认为小孩不应该出现在公共场所的人一样。
　　不管爱因斯坦到底为什么评价是他犯下的最大错误，他真正的错误其实是这个评价本身。
　　1998年，人们发现宇宙不仅仅是在膨胀，而且这样的膨胀正在加速。如同平地一声雷，沉寂了半个世纪的宇宙学定律复活了它甚至以大写字母的姿态重回人们的视野。如今看来，根本不是零：它捕捉到了暗能量的存在，这是空旷空间里的一种特殊存在，与引力相抗衡。根据我们目前的探索，它占据了宇宙质量总和的68。因此，爱因斯坦的积分常数不是一个可以忽略不计的错误。毫不夸张地说，它占了宇宙质量总和的三分之二。
　　从来没有人说过爱因斯坦是一个完美的数学家，尤其是爱因斯坦本人。不要畏惧你在数学上遇到的困难，他给一个12岁的笔友写道，我可以向你保证，我遇到的困难比你还大。有一本名为《爱因斯坦的错误》（Einstein’sMistakes）的著作声称爱因斯坦20的论文有实质性的错误（希望不要有人写一本书名为《奥尔林的错误》，专门挑我的错误）。弗里兹诺瓦（FrizzNova）对此不以为意，他打趣道：从来没有犯过错误的人，应该是从来没有尝试过新东西。
　　这就是积分常数。它们很容易被忽视，也很难诠释。有时候它们真的是零，而其他时候，它们其实暗含着关键信息。初学者可能会不小心忘记这个积分常数；而相比之下，科学家没有忘记它，他们返回去删除了它，并坚持认为它必须一直是零。
　　我不知道你们是怎么想的，但是对我来说，爱因斯坦的故事让我非常高兴能参与这个曲折的、不断膨胀的宇宙之旅。在这个旅程中，即使是常数，也在讲述着变化的故事。