MATLAB的lsqnonlin函数拟合非线性式子中的未知参

　　往往在实际问题中都存在exp（x）、lnx、sinx等多种函数组合的非线性经验公式。对此我们就可以通过lsqnonlin函数进行求解，该函数的方法被称为非线性最小二乘，损失函数一样，只不过类似于优化算法，给定参数初始值，然后优化参数，非线性最小二乘模型如下，即目标函数。
　　1。lsqnonlin语法
　　lsqnonlin函数用于求解非线性最小二乘（非线性数据拟合）问题。语法xlsqnonlin（fun，x0）xlsqnonlin（fun，x0，lb，ub）xlsqnonlin（fun，x0，lb，ub，options）xlsqnonlin（problem）〔x，resnorm〕lsqnonlin（）〔x，resnorm，residual，exitflag，output〕lsqnonlin（）〔x，resnorm，residual，exitflag，output，lambda，jacobian〕lsqnonlin（）lb、ub为解向量的下界和上界lbaub，若没有指定界，则lb〔〕，ub〔〕；options为指定的优化参数；fun为待拟合函数，计算x处拟合函数值，其定义为functionFmyfun（a，xdata）resnormsum（（fun（a，xdata）ydata）。2），即在a处残差的平方和；residualfun（a，xdata）ydata，即在x处的残差；exitflag为终止迭代的条件；output为输出的优化信息；lambda为解x处的Lagrange乘子；jacobian为解x处拟合函数fun的jacobian矩阵。
　　2。拟合简单指数
　　对数据进行简单的指数衰减曲线拟合。
　　从添加了噪声的指数衰减模型生成数据。模型是：
　　yexp（1。3t）
　　其中t的范围是从0到3，是均值为0、标准差为0。05的正态分布噪声。
　　问题表述为：给定数据（d、y），求出与数据拟合最佳的指数衰减率。
　　创建一个匿名函数，该函数接受指数衰减率r的值作为输入，并返回采用该衰减率的模型与数据之差组成的向量。
　　程序rngdefaultrng（default）将rand、randi和randn使用的随机数生成器的设置重置为其默认值。这样，会生成相同的随机数，就好像您重新启动了MATLAB。默认设置是种子为0的梅森旋转生成器。dlinspace（0，3）；yexp（1。3d）0。05randn（size（d））；fun（r）exp（dr）y；找到最佳衰减率的值。任意选择一个初始估计值x04。x04；xlsqnonlin（fun，x0）绘制数据和最佳拟合指数曲线。plot（d，y，ko，d，exp（xd），b）legend（原始数据，拟合数据）xlabel（t）ylabel（exp（tx））
　　运行结果Localminimumpossible。lsqnonlinstoppedbecausethefinalchangeinthesumofsquaresrelativetoitsinitialvalueislessthanthevalueofthefunctiontolerance。stoppingcriteriadetailsx1。2645
　　3。拟合具有边界约束的问题
　　当某些拟合参数有边界时，找到最佳拟合模型。找到合适的中心化参数b和缩放参数a，以便拟合以下函数：aexp（t）exp（exp（（tb）））。
　　程序最好地拟合以下标准正态密度分布：创建数据点组成的向量t，以及在这些点上的对应正态密度。tlinspace（4，4）；y1sqrt（2pi）exp（t。22）；创建一个缩放参数a为x（1）且中心化参数b为x（2）的函数，来计算中心化并缩放的函数与正态y之间的差。fun（x）x（1）exp（t）。exp（exp（（tx（2））））y；从x0〔12，0〕开始寻找最佳拟合，缩放参数a的值介于12和32之间，中心化参数b的值介于1和3之间。lb〔12，1〕；ub〔32，3〕；x0〔12，0〕；xlsqnonlin（fun，x0，lb，ub）绘制这两个函数来查看拟合的质量。plot（t，y，r，t，fun（x）y，b）xlabel（t）legend（原始数据函数曲线，拟合函数曲线）
　　运行结果Localminimumpossible。lsqnonlinstoppedbecausethefinalchangeinthesumofsquaresrelativetoitsinitialvalueislessthanthevalueofthefunctiontolerance。stoppingcriteriadetailsx0。82310。2444
　　4。检查求解过程
　　在求解过程发生时和发生后都对其进行检查（通过将Display选项设置为iter在发生时进行检查，通过检查output结构体在发生后进行检查）。
　　假设您有观测时间数据xdata和观测响应数据ydata，并且要求得参数x（1）和x（2）以拟合以下形式的模型：ydatax（1）exp（x（2）xdata）。
　　程序输入观测时间和响应。xdata。。。〔0。91。513。819。824。128。235。260。374。681。3〕；ydata。。。〔455。2428。6124。167。343。228。113。10。41。31。5〕；创建简单的指数衰减模型。该模型计算预测值和观测值之间的差组成的向量。fun（x）x（1）exp（x（2）xdata）以x0〔100，1〕为起点拟合模型。通过将Display选项设置为iter来检查求解过程。获取output结构体以获取有关求解过程的详细信息。x0〔100，1〕；optionsoptimoptions（lsqnonlin，Display，iter，PlotFcn，optimplotx）；〔x，resnorm，residual，exitflag，output〕lsqnonlin（fun，x0，〔〕，〔〕，options）Algorithm在trustregionreflective（默认值）和levenbergmarquardt之间进行选择。options。A〔x1，resnorm1，residual1，exitflag1，output1〕lsqnonlin（fun，x0，〔〕，〔〕，options）
　　运行结果NormofFirstorderIterationFunccountf（x）stepoptimality033596772。88e04ObjectivefunctionreturnedItryinganewpoint。。。1635967711。69762。88e04293213950。54。97e0431232139514。97e044152922530。257。06e045182922530。57。06e046212703500。1251。15e057242703500。251。15e058272527770。06251。63e059302527770。1251。63e0510332438770。031257。48e0411362436600。06258。7e0412392432760。06252e0413422431740。06251。14e0414452429990。1255。1e0315482426610。252。04e0316512419870。51。91e03175424064311。04e03185723797123。36e03196023268646。04e03206322235481。2e042166202592162。25e042269166443324。05e042372106320646。68e04247528704。71288。31e04257889。7947140。6742。22e0426819。573812。0259968427849。504890。06199262。2728879。504890。0004622620。0114Localminimumpossible。lsqnonlinstoppedbecausethefinalchangeinthesumofsquaresrelativetoitsinitialvalueislessthanthevalueofthefunctiontolerance。stoppingcriteriadetailsx498。83090。1013resnorm9。5049residual0。18170。06100。76280。11960。26590。59791。02611。51241。56151。6327exitflag3output包含以下字段的struct：firstorderopt：0。0114iterations：28funcCount：87cgiterations：0algorithm：trustregionreflectivestepsize：4。6226e04message：Localminimumpossible。lsqnonlinstoppedbecausethefinalchangeinthesumofsquaresrelativetoitsinitialvalueislessthanthevalueofthefunctiontolerance。stoppingcriteriadetailsOptimizationstoppedbecausetherelativesumofsquares（r）ischangingbylessthanoptions。FunctionTolerance1。000000e06。FirstOrderNormofIterationFunccountResidualoptimalityLambdastep033596772。88e040。01ObjectivefunctionreturnedItryinganewpoint。。。1133407613。91e041000000。2807772163046615。97e04100000。3731463212972926。55e041e060。05899334242882407。57e041000000。06454445282754071。01e051e060。07412666312499541。62e051000000。0945717362458961。35e051e070。01336068392438467。26e041e060。009443119422435685。66e041000000。0082162210452434241。61e04100000。0077793611482433228。8e0310000。067393312512424085。1e031000。67520913542336281。05e04106。5980414571690898。51e04154。6992156030814。71。54e050。1196。9391663147。4968e030。01129。79517669。515031170。0019。9606918699。504890。07140。00010。08048619729。504894。96e051e055。07028e05Localminimumpossible。lsqnonlinstoppedbecausetherelativesizeofthecurrentstepislessthanthevalueofthestepsizetolerance。stoppingcriteriadetailsx1498。83090。1013resnorm19。5049residual10。18170。06100。76280。11960。26590。59791。02611。51241。56151。6327exitflag14output1包含以下字段的struct：iterations：19funcCount：72stepsize：5。0703e05cgiterations：〔〕firstorderopt：4。9629e05algorithm：levenbergmarquardtmessage：Localminimumpossible。lsqnonlinstoppedbecausetherelativesizeofthecurrentstepislessthanthevalueofthestepsizetolerance。stoppingcriteriadetailsOptimizationstoppedbecausetherelativenormofthecurrentstep，1。016433e07，islessthanoptions。StepTolerance1。000000e06。
　　5。属性设置
　　优化选项，指定为optimoptions的输出或optimset返回的结构体。MaxIterations允许的迭代最大次数，为正整数。默认值为400。OptimalityTolerance一阶最优性的终止容差（正标量）。默认值为1e6。PlotFcn对算法执行过程中的各种进度测量值绘图，可以选择预定义的绘图，也可以自行编写绘图函数。传递名称、函数句柄或者由名称或函数句柄组成的元胞数组。对于自定义绘图函数，传递函数句柄。默认值是无（〔〕）：optimplotx绘制当前点。optimplotfunccount绘制函数计数。optimplotfval绘制函数值。optimplotresnorm绘制残差范数。optimplotstepsize绘制步长大小。optimplotfirstorderopt绘制一阶最优性度量。
　　参考内容
　　〔1〕https：ww2。mathworks。cnhelpoptimuglsqnonlin。html
　　作者：郭志龙
　　编辑：郭志龙
　　校对：郭志龙