空间向量的数量积及其应用说课稿

　　一、教材分析：
　　（一）教材的地位、作用：
　　向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用。利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题。《空间向量数量积及其应用》，计划安排两节课时，本节课是第2课时。也就是，在有了平面向量数量积公式，空间向量坐标表示，以及空间向量数量积的基础知识之后，本节课是进一步去认识、掌握空间向量数量积的变形公式，然后，围绕着空间向量的几何应用展开讨论和研究。
　　通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。
　　（二）教学目标：
　　知识目标：掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；
　　运用公式解决立体几何中的有关问题。
　　能力目标：比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；
　　探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。
　　情感态度、价值观目标：
　　通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；
　　通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。
　　（三）教学重点、难点：
　　重点：空间向量数量积公式及其应用。
　　难点：如何将几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决几何问题。
　　二、教法、学法分析：
　　教法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式；
　　学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流等形式。
　　三、教学过程分析：
　　根据二期课改的精神，本着以学生发展为本的教学理念，结合学生实际，对教学内容作了如下的调整：基于教材中主要是运用向量夹角求异面直线所成的角，所以，首先让学生掌握教材所要求的基本面；其次，鉴于向量兼容了代数、几何的特色，有着其独特的魅力和发展前景，为进一步让学生感受向量法的优势，安排了两个分别运用向量的代数运算和几何运算来处理空间几何问题的典型例题，为解决空间的度量、位置关系问题找到一种新方法，进一步拓展了学生的思维渠道。以下，是我制定的教学流程：
　　创设情境，提出问题类比猜想，探求新知公式运用，巩固提高回顾小结，整体感知课外探究，激发热情
　　教学过程如下：
　　（一）创设情境：
　　给出问题一：已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，AEEA1，
　　D1F，如何确定的夹角？
　　〔设计意图〕：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，但预计应该会让他们联想到平面向量的夹角公式，由此作一番类比猜想，起到温故知新的作用。
　　〔处理过程〕：
　　设问：平面向量的夹角问题如何求得的？
　　是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？公式的形式是否会有所变化？
　　学生活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式及其坐标表示；类比猜想，认识空间向量的夹角问题。
　　（二）建构数学：（板书）
　　对于空间两个非零向量
　　（三）公式运用：
　　1、问题一的解决：
　　学生活动：解决上述问题。
　　。变式运用：已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，
　　AEEA1，D1F，求BE、FD所成的角？
　　〔设计意图〕：初步体会立几法、向量法来解决几何问题，并注意区分两个向量夹角与两条异面直线间的夹角。
　　〔处理过程〕：（由以往教学实践，部分学生可能想到用传统的几何方法）
　　设问：如何用向量方法求BE、FD所成的角？
　　（引导学生建立空间直角坐标系，求得B、D、E、F的坐标，进一步得到的坐标，最后代入空间向量夹角公式计算得出的向量夹角是钝角，而异面直线成锐角。）
　　〔评价〕：
　　异面直线所成的角可由向量的夹角来解决，可见，解决立体几何的有关问题时，方法并不唯一。在此，可以比较向量法和几何法，选择适当方法，解决问题。
　　两个向量夹角与两条异面直线间的夹角是有区别的。
　　2。问题二的探究：
　　如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，
　　AC1，CB，侧棱AA11，侧面AA1B1B的
　　两条对角线交点为D，B1C1中点为M。
　　（1）求证：CD平面BDM；
　　（2）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。
　　〔设计意图〕：通过立几法、向量法的尝试，让学生明显感受到运用向量法的优越性。
　　〔处理过程〕：
　　学生活动：让学生先试行用传统方法解决问题，估计不少学生会感到有一定困难。
　　〔设问〕：类似于上题做法，能否用向量法解决这一问题？
　　学生活动：进入思考讨论
　　相互分析交流达成共识：
　　（i）证明线面垂直可转化为证线线垂直，进一步转化为证向量间的垂直，即向量的数量积等于零；
　　（ii）求二面角的平面角，转化为求那两条与二面角的棱垂直的射线所成的角，在此，可构造两向量（提醒其方向，及向量始点的自由、不唯一性），然后求其夹角，从而解决问题。
　　解题过程：
　　〔评价〕：传统解法需作辅助线，有时不易作出；而使用向量解法，程序化强，便于操作，求解的关键在于建立适当的空间直角坐标系（基本原则：使图中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于用坐标表示相关的点及向量），然后利用坐标系确定各相关的点及向量坐标，再借助向量坐标运算法则及公式，无需添加辅助线，即可达到解题的目的。。
　　3。小结，利用空间向量解决立体几何中有关问题的一般步骤：（学生回答，教师补充，板书）
　　（1）适当地构建空间直角坐标系；
　　（2）用坐标表示相关的点、空间向量；
　　（3）进行空间向量的运算；
　　（4）体炼共性，转化为几何结论。
　　（四）归纳总结：
　　引导学生总结本节课的收获，相互交流。
　　（五）课外探究：
　　（这是2000年高考题）如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的
　　底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD60，
　　当的值是多少时，能使A1C平面C1BD，请给出证明。
　　〔设计意图〕：这是2000年高考第18题第3小题，是个探索型问题。把它放在这里，一方面：在高二阶段，接触到高考题，学生的兴趣颇高，可调动学生的学习热情，增强学生的主体意识；另一方面，解题中，再次让学生感受到：单纯用立体几何知识解答较繁，而利用向量法去思考，思路清晰，目标明确，从而大大降低了求解的难度，同时亦可激发他们不断求知、不断探索的欲望。
　　（六）布置作业
　　〔板书设计〕
　　课题引入：问题一的解决：课外探究：
　　空间向量数量积、夹角公式：
　　问题二的解决：布置作业：
　　用向量解几何题的步骤：
　　四、教学反思：
　　本节课的设计，力求体现以学生发展为本的教学理念。教学过程中，以问题为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间。例题内容的安排上，注意逐步推进，力求使教师的启发引导与学生的思维同步，顺应学生学习数学的过程，促进学生认知结构的发展；另外，课外探究题给学生留下广阔的思维空间和拓展探索的余地，让学生体验到数学活动充满了探索和创造。在教学过程中，注意到培养学生合作交流的意识和能力。