2021年数学和计算机的6大突破

　　2021年，数学家和计算机科学家们除了保存逐渐消失的知识和重新审视老问题，还在集合论、拓扑学和人工智能方面取得了令人激动的突破。他们在该领域的基本问题上取得了新的进展，庆祝跨越遥远的数学领域产生的联系，并看到了数学和其他学科之间的联系和增长。但是，许多结果只是部分答案，一些有希望的探索途径被证明是死胡同，给未来（和现在）的人留下工作。
　　拓扑学家们已经度过了忙碌的一年，他们看到今年秋天出版的一本书终于全面地介绍了一项有40年历史的重要工作，而这项工作有可能被遗忘。11年前创造的一个几何工具在不同的数学背景下获得了新的生命，连接了不同的研究领域。集合论方面的新工作使数学家们更接近于理解无限的本质和真正的实数有多少。
　　但数学并不存在于真空中。今年夏天，对量子场理论的数学理解的日益增长的需求，这是物理学中最成功的概念之一。同样，计算机正日益成为数学家们不可或缺的工具，他们不仅使用计算机进行计算，求解一下本不可能解的问题，甚至验证复杂的证明。随着机器在解决问题方面变得更好，今年在理解它们如何变得如此出色方面也取得了新的进展。
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　　01保存拓扑结构
　　人们很容易认为，一个数学证明一旦被发现，就会永远存在下去。但是，1981年的一个开创性的拓扑学结果面临着被遗忘的危险，因为剩下的几个理解它的数学家已经变老并离开了这个领域。迈克尔弗里德曼（MichaelFreedman）对四维庞加莱猜想的证明表明，在某些方面与四维球体相似（或同构等价）的形状也必须在其他方面与它相似，从而使它们成为同构（拓扑学家们有自己的方法来确定两个形状是否相同或相似）。幸运的是，一本名为《圆盘嵌入定理》（TheDiscEmbeddingTheorem）的新书以近500页的篇幅确立了弗里德曼令人惊讶的逻辑，并将这一发现牢固地确立在数学大典中。
　　最近拓扑学的另一个重要结果涉及斯麦尔猜想，该猜想询问四维球体的基本对称性是否基本上是它的所有对称性。渡边忠之证明了答案是否定的，还有更多种类的对称性存在，他这样做启动了对这些对称性的搜索，最近在9月出现了新的结果。另外，两位数学家开发了弗洛尔莫拉瓦K理论，这是一个结合了对称几何和拓扑学的框架；这项工作为处理这些领域的问题建立了一套新的工具，并且几乎证明了一个几十年前问题的新版本阿诺德猜想。
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　　02打开人工智能的黑匣子
　　无论是帮助数学家做数学还是帮助分析科学数据，深度神经网络，一种建立在人工神经元层面上的人工智能形式，已经变得越来越复杂和强大。它们也仍然很神秘：传统的机器学习理论认为，它们巨大的参数数量应该导致过度拟合和无法归纳，但显然一定有其他事情发生。事实证明，旧的和更好理解的机器学习模型，称为内核机，在数学上等同于这些神经网络的理想化版本，表明了理解和利用数字黑盒子的新方法。
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　　但也有一些挫折，被称为卷积神经网络的相关人工智能种类很难区分相似和不同的对象，而且很有可能一直如此。同样，最近的工作表明，梯度下降（一种用于训练神经网络和执行其他计算任务的算法）是一个根本性的难题，这意味着一些任务可能永远无法完成。量子计算，尽管它很有希望，但在3月份也遭受了巨大的挫折，一篇描述如何创造抗错拓扑量子比特的重要论文被撤回，迫使曾经充满希望的科学家认识到这样的机器可能不存在。
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　　03无穷大的本质
　　有多少个实数存在？一个多世纪以来，这一直是一个具有挑战性的问题，也是一个未解决的问题，但今年在寻找这一答案方面取得了重大进展。大卫阿斯佩罗和拉尔夫辛德勒在5月发表了一个证明，结合了两个以前对立的公理。其中一个公理的变体，马丁最大公理。这一结果意味着两个公理都更有可能是真的，这反过来又表明实数的数量比最初想象的要大，对应于基数N2而不是N1（N1也是无穷大）。
　　这并不是唯一被现代数学家重新审视的几十年前的老问题。1900年，大卫希尔伯特提出了23个未解决的重大问题，今年，数学家们发布了第12个问题的不完整答案，即关于某些数字系统的构件，以及第13个问题，即关于七度多项式的解。2月还宣布了单位猜想是错误的，这意味着乘法逆子实际上存在于比数学家想象的更复杂的结构中。而在一月份，AlexKontorovich在一篇文章和视频中探讨了可能是数学中最大的未解决的问题，黎曼假设。
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　　04拓展数学的桥梁
　　通常情况下，一个伟大的数学进步不仅回答了一个重大问题，而且还提供了一个新的探索途径，以尝试解决其他问题。LaurentFargues和JeanMarcFontaine在2010年左右创造了一个新的几何对象，有助于他们自己的研究。但当与彼得肖尔兹围绕完形空间的想法相结合时，FarguesFontaine曲线具有了扩展的意义，作为几十年来Langlands计划的一部分，进一步连接了数论和几何。Scholze说这是两个不同世界之间的某种虫洞。
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　　05数学和计算机的联手
　　现实世界的系统是出了名的复杂，而偏微分方程（PDEs）帮助研究人员描述和理解它们。但偏微分方程也是出了名的难解。两种新的神经网络（DeepONet和Fourier神经算子）的出现使这项工作变得更加容易。两者都具有近似算子的能力，可以将函数转化为其他函数，有效地使网络能够将一个无限大的空间映射到另一个无限大的空间。新系统解决现有方程的速度比传统方法更快，它们也可能有助于为以前过于复杂的系统提供PDEs描述建模。
　　事实上，今年计算机已经在不同方面证明了对数学家的帮助。1月，Quanta报道了量子计算机的新算法，这将使它们能够处理非线性系统，其中相互作用可以影响自身，首先将它们近似为更简单的线性系统。计算机还继续推动了数学研究的发展，一个数学家团队使用现代硬件和算法证明了没有比26年前发现的更多类型的特殊四面体，而更引人注目的是，一个名为Lean的数字证明助手验证了一个难以捉摸的现代证明的正确性。
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　　06数学与物理再次相遇
　　物理学和数学总是相互重叠，相互启发，相互促进。量子场论的概念，是物理学家用来描述涉及量子场的框架的总称，已经取得了巨大的成功，但它建立在不稳定的数学基础上。给量子场理论带来数学上的严谨性，将有助于物理学家在该框架内工作和扩展，但它也会给数学家提供一套新的工具和结构来玩。在一个由四部分组成的系列中，Quanta研究了目前阻碍数学家的主要问题，探索了一个较小规模的二维例子，与QFT专家NathanSeiberg讨论了各种可能性，并解释了最突出的QFT：标准模型。
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