数学教案一元二次方程实数根错例剖析课

　　课题：一元二次方程实数根错例剖析课
　　【教学目的】精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。
　　【课前练习】
　　1、关于x的方程ax2bxc0，当a时，方程为一元一次方程；当a时，方程为一元二次方程。
　　2、一元二次方程ax2bxc0（a0）的根的判别式，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程没有实数根。
　　【典型例题】
　　例1下列方程中两实数根之和为2的方程是（）
　　（A）x22x30（B）x22x30（c）x22x30（D）x22x30
　　错答：B
　　正解：C
　　错因剖析：由根与系数的关系得x1x22，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由可知，方程B无实数根，方程C合适。
　　例2若关于x的方程x22（k2）xk20两个实数根之和大于4，则k的取值范围是（）
　　（A）k1（B）k0（c）1k0（D）1k0
　　错解：B
　　正解：D
　　错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是0
　　例3（2000广西中考题）已知关于x的一元二次方程（12k）x22？XML：NAMESPACEPREFIXOx10有两个不相等的实根，求k的取值范围。
　　错解：由（2）24（12k）（1）4k80得k2又k10k1。即k的取值范
　　围是1k2
　　错因剖析：漏掉了二次项系数12k0这个前提。事实上，当12k0即k时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。
　　正解：1k2且k
　　例4（2002山东太原中考题）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2（2m1）xm210的两个实数根，当x12x2215时，求m的值。
　　错解：由根与系数的关系得
　　x1x2（2m1），x1x2m21，
　　x12x22（x1x2）22x1x2
　　〔（2m1）〕22（m21）
　　2m24m1
　　又x12x2215
　　2m24m115
　　m14m22
　　错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式0。因为当m4时，方程为x27x170，此时（7）24215；17215；1190，方程无实数根，不符合题意。
　　正解：m2
　　例5若关于x的方程（m21）x22（m2）x10有实数根，求m的取值范围。
　　错解：〔2（m2）〕24（m21）16m20
　　0hr16m200，
　　m54
　　又m210，
　　m177；1
　　m的取值范围是m177；1且m
　　错因剖析：此题只说（m21）x22（m2）x10是关于未知数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑m210和m210两种情况。当m210时，即m177；1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。
　　正解：m的取值范围是m
　　例6已知二次方程x23xa0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。
　　错解：方程有整数根，
　　94a0，则a2。25
　　又a是非负数，a1或a2
　　令a1，则x3177；，舍去；令a2，则x11、x22
　　方程的整数根是x11，x22
　　错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a0时，还可以求出方程的另两个整数根，x30，x43
　　正解：方程的整数根是x11，x22，x30，x43
　　【练习】
　　练习1、（01济南中考题）已知关于x的方程k2x2（2k1）x10有两个不相等的实数根x1、x2。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。
　　解：（1）根据题意，得（2k1）24k20解得k
　　当k时，方程有两个不相等的实数根。
　　（2）存在。如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1x20，
　　解得k。经检验k是方程的解。
　　当k时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。
　　读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。
　　解：上面解法错在如下两个方面：
　　（1）漏掉k0，正确答案为：当k时且k0时，方程有两个不相等的实数根。
　　（2）k。不满足0，正确答案为：不存在实数k，使方程的两实数根互为相反数
　　练习2（02广州市）当a取什么值时，关于未知数x的方程ax24x10只有正实数根？
　　解：（1）当a0时，方程为4x10，x
　　（2）当a0时，164a0a4
　　当a4且a0时，方程有实数根。
　　又因为方程只有正实数根，设为x1，x2，则：
　　x1x20；
　　x1。x20解得：a0
　　综上所述，当a0、a4、a0时，即当4a0时，原方程只有正实数根。
　　【小结】以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与之间的关系。
　　1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。
　　2、运用根与系数关系时，0是前提条件。
　　3、条件多面时（如例5、例6）考虑要周全。
　　【布置作业】
　　1、当m为何值时，关于x的方程x22（m1）xm290有两个正根？
　　2、已知，关于x的方程mx22（m2）xm50（m0）没有实数根。求证：关于x的方程
　　（m5）x22（m2）xm0一定有一个或两个实数根。
　　考题汇编
　　1、（2000年广东省中考题）设x1、x2是方程x25x30的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x1x2）2的值。
　　2、（2001年广东省中考题）已知关于x的方程x22xm10
　　（1）若方程的一个根为1，求m的值。
　　（2）m5时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。
　　3、（2002年广东省中考题）已知关于x的方程x22（m2）xm20有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m的值。
　　4、（2003年广东省中考题）已知x1、x2为方程x2pxq0的两个根，且x1x26，x12x2220，求p和q的值。