初二数学教案设计勾股定理的综合应用

　　勾股定理及其逆定理是初中数学中的重要内容之一，它的应用极其广泛，现将常见的应用例析如下，供同学们参考。
　　一、利用勾股定理进行计算
　　1。求面积
　　例1：如图1，在等腰ABC中，腰长AB10cm，底BC16cm，试求这个三角形面积。
　　析解：若能求出这个等腰三角形底边上的高，就可以求出这个三角形面积。而由等腰三角形三线合一性质，可联想作底边上的高AD，此时D也为底边的中点，这样在RtABD中，由勾股定理得AD2AB2BD21028236，所以AD6cm，所以这个三角形面积为BCAD16648cm2。
　　2。求边长
　　例2：如图2，在ABC中，C135？，BC，AC2，试求AB的长。
　　析解：题中没有直角三角形，不能直接用勾股定理，可考虑过点B作BDAC，交AC的延长线于D点，构成RtCBD和RtABD。在RtCBD中，因为ACB135？，所以BCB45？，所以BDCD，由BC，根据勾股定理得BD2CD2BC2，得BDCD1，所以ADACCD3。在RtABD中，由勾股定理得AB2AD2BD2321210，所以AB。
　　点评：这两道题有一个共同的特征，都没有现成的直角三角形，都是通过添加适当的辅助线，巧妙构造直角三角形，借助勾股定理来解决问题的，这种解决问题的方法里蕴含着数学中很重要的转化思想，请同学们要留心。
　　二、利用勾股定理的逆定理判断直角三角形
　　例3：已知a，b，c为ABC的三边长，且满足a2b2c233810a24b26c。试判断ABC的形状。
　　析解：由于所给条件是关于a，b，c的一个等式，要判断ABC的形状，设法求出式中的a，b，c的值或找出它们之间的关系（相等与否）等，因此考虑利用因式分解将所给式子进行变形。因为a2b2c233810a24b26c，所以a210ab224bc226c3380，所以a210a25b224b144c226c1690，所以（a5）2（b12）2（c13）20。因为（a5）20，（b12）20，（c13）20，所以a50，b120，c130，即a5，b12，c13。因为52122132，所以a2b2c2，即ABC是直角三角形。
　　点评：用代数方法来研究几何问题是勾股定理的。逆定理的数形结合思想的重要体现。
　　三、利用勾股定理说明线段平方和、差之间的关系
　　例4：如图3，在ABC中，C90？，D是AC的中点，DEAB于E点，试说明：BC2BE2AE2。
　　析解：由于要说明的是线段平方差问题，故可考虑利用勾股定理，注意到CBEDAED90？及CDAD，可连结BD来解决。因为C90？，所以BD2BC2CD2。又DEAB，所以BEDAED90？，在RtBED中，有BD2BE2DE2。在RtAED中，有AD2DE2AE2。又D是AC的中点，所以ADCD。故BC2CD2BC2AD2BC2DE2AE2BE2DE2，所以BE2BC2AE2，所以BC2BE2AE2。
　　点评：若所给题目的已知或结论中含有线段的平方和或平方差关系时，则可考虑构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题。