下学期ampgtampgt4。3任意角的三角函数

　　任意角的三角函数
　　教学目标：
　　1通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值
　　2掌握已知角终边上一点坐标，求四个三角函数值（即给角求值问题）
　　教学重点：
　　任意角的三角函数的定义
　　教学难点：
　　任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示
　　教学用具：
　　直尺、圆规、投影仪
　　教学步骤：
　　1设置情境
　　角的范围已经推广，那么对任一角是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题
　　2探索研究
　　（1）复习回忆锐角三角函数
　　我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值，定义了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示
　　（2）任意角的三角函数定义
　　如图1，设是任意角，的终边上任意一点的坐标是，当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为，则
　　定义：比值叫做的正弦，记作，即
　　比值叫做的余弦，记作，即
　　图1
　　比值叫做的正切，记作，即
　　同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件
　　提问：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？
　　利用三角形相似的知识，可以得出对于角，这三个比值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关
　　请同学们观察当时，的终边在轴上，此时终边上任一点的横坐标都等于0，所以无意义，除此之外，对于确定的角，上面三个比值都是惟一确定的把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义
　　比值叫做的余切，记作，则
　　比值叫做的正割，记作，则
　　比值叫做的余割，记作，则
　　可以看出：当时，的终边在轴上，这时的纵坐标都等于0，所以与的值不存在，当时，的值不存在，除此之外，对于确定的角，比值，，分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数
　　（3）三角函数是以实数为自变量的函数
　　对于确定的角，如图2所示，，，分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数
　　即：实数角（其弧度数等于这个实数）三角函数值（实数）
　　（4）三角函数的一种几何表示
　　利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3
　　图3
　　设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角的终边（当为第一、四象限时）或其反向延长线（当为第二、三象限时）相交于，当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段由正弦、余弦、正切函数的定义有：
　　这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在
　　（5）例题讲评
　　【例1】已知角的终边经过，求的六个三角函数值（如图4）
　　解：
　　提问：若将改为，如何求的六个三角函数值呢？（分，两种情形讨论）
　　【例2】求下列各角的六个三角函数值
　　（1）；（2）；（3）
　　解：（1）当时，，
　　，，
　　不存在，，不存在
　　（2）当时，，
　　，
　　不存在
　　不存在
　　（3）当时，，
　　不存在不存在
　　【例3】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线（1）；（2）
　　解：，的正弦线，余弦线，正切线分别为
　　【例4】求证：当为锐角时，
　　证明：如右图，作单位圆，当时作出正弦线和正切线，连
　　利用三角函数线还可以得出如下结论
　　的充要条件是为第一象限角
　　的充要条件是为第三象限角
　　练习（学生板演，利用投影仪）
　　（1）角的终边在直线上，求的六个三角函数值
　　（2）角的终边经过点，求，，，的值
　　（3）说明的理由
　　解答：
　　（1）先确定终边位置
　　如在第一象限，在其上任取一点，，则
　　，
　　如在第三象限，在终边上任取一点，则
　　，
　　（2）若，不妨令，则在第二角限
　　（3）在终边上任取一点，因为与终边相同，故也为角终边上一点，所以成立
　　说明：以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径用定义求角的三角函数值，是基本方法之一当角终边不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值
　　3反馈训练
　　（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（）
　　ABCD
　　（2）函数的定义域是（）
　　AB
　　CD
　　（3）若，都有意义，则
　　（4）若角的终边过点，且，则
　　参考答案：（1）D；（2）B；（3）或8，说明点在半径为的圆上；（4）6
　　4本课小结
　　利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置角的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易
　　分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴
　　课时作业：
　　1已知角的终边经过下列各点，求角的六个三角函数值
　　（1）（2）
　　2计算
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）
　　3化简
　　（1）
　　（2）
　　（3）
　　（4）
　　参考答案：
　　1（1），，
　　，，
　　，
　　（2），，
　　，，
　　，
　　2（1）2；（2）8；（3）1；（4）
　　3（1）0；（2）；（3）；（4）
　　下学期4。3任意角的三角函数