下学期4。8正弦函数余弦函数的图像和性质3

　　4。8正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）
　　（一）教学具准备
　　直尺、投影仪
　　（二）教学目标
　　1理解，的周期性概念，会求周期
　　2初步掌握用定义证明的周期为的一般格式
　　（三）教学过程
　　1设置情境
　　自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角的终边每转一周又会与原来的位置重合，故，的值也具有周而复始的变化规律为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念函数的周期性（板书课题）
　　2探索研究
　　（1）周期函数的定义
　　引导学生观察下列图表及正弦曲线
　　0hr0hr1hr0hr1
　　0hr1hr0hr1
　　0hr正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现
　　联想诱导公式，若令则，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：
　　对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期
　　如，，及，都是正弦函数的周期
　　注意：周期函数定义中有两点须重视，一是是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立
　　师：请同学们思考下列问题：对于函数，有能否说是正弦函数的周期
　　生：不能说是正弦函数的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式成立，所以不符合周期函数的定义
　　是周期函数吗？为什么
　　生：若是周期函数，则有非零常数，使，即，化简得，（不非零），或（不是常数），故满足非零常数不存在，因而不是周期函数
　　思考题：若为的周期，则对于非零整数，也是的周期（课外思考）
　　（2）最小正周期的定义
　　师：我们知道，，，，都是正弦函数的周期，可以证明（且）是的周期，其中是的最小正周期
　　一般地，对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期
　　今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期
　　依据定义，和的最小正周期为
　　（3）例题分析
　　【例1】求下列函数的周期：
　　（1），；（2），；
　　（3），
　　分析：由周期函数的定义，即找非零常数，使
　　解：（1）因为余弦函数的周期是，所以自变量只要并且至少要增加到，余弦函数的值才能重复取得，函数，的值也才能重复取得，从而函数，的周期是
　　即，
　　（2）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，就是说，变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复取得，而所以自变量只要并且至少要增加到，函数值就能重复取得，从而函数，的周期是
　　即
　　（3）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，由于，所以自变量只要并且至少要增加到，函数值才能重复取得，即是能使等式成立的最小正数，从而函数，的周期是
　　而
　　师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关，其规律如何？你能否求出函数，及函数，（其中，，为常数，且，）的周期？
　　生：
　　同理可求得的周期
　　【例2】求证：
　　（1）的周期为；
　　（2）的周期为；
　　（3）的周期为
　　分析：依据周期函数定义证明
　　证明：（1）
　　的周期为
　　（2）
　　的周期为
　　（3）
　　的周期为
　　3演练反馈（投影）
　　（1）函数的最小正周期为（）
　　ABCD
　　（2）的周期是
　　（3）求的最小正周期
　　参考答案：
　　（1）C；（2）
　　（3）欲求的周期，一般是把三角函数化成易求周期的函数或的形式，然后用公式求最小正周期，而化得的一般思路是多个化一个，高次化一次，将所给函数化成单角单函数
　　由
　　4总结提炼
　　（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期
　　（2）设，若为的周期，则必有：为无限集，；在上恒成立
　　（3）只有或型的三角函数周期才可用公式，不具有此形式，不能套用如，就不能说它的周期为
　　（四）板书设计课题
　　1周期函数定义
　　两点注意：
　　思考问题
　　2最小正周期定义
　　例1例2
　　的周期
　　的周期
　　练习反馈
　　总结提炼TR
　　思考题：设是定义在上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当时，，求上的表达式
　　参考答案：